Częstotliwość drgań to jedno z najważniejszych pojęć w fizyce, szczególnie w opisie ruchu drgającego, fal, dźwięku i prądu zmiennego. Zrozumienie, czym jest częstotliwość, jak ją obliczać i w jakich jednostkach ją podajemy, pozwala lepiej rozumieć zjawiska wokół nas – od brzmienia instrumentów muzycznych po działanie sieci energetycznej.
Czym jest częstotliwość drgań? (definicja)
Wyobraź sobie prosty przykład: wahadło (np. ciężarek na sznurku), które wychylasz i puszczasz. Wahadło porusza się tam i z powrotem. Jeden pełny „tam i z powrotem” nazywamy jednym drganiem lub jednym cyklem.
Częstotliwość drgań mówi nam, ile takich pełnych drgań zachodzi w określonym czasie (najczęściej w jednej sekundzie).
Formalna definicja:
\[ \text{Częstotliwość drgań} = \text{liczba pełnych drgań w jednostce czasu} \]
Jeśli w ciągu 1 sekundy wahadło wykona 2 pełne drgania, to mówimy, że częstotliwość drgań wynosi 2 drgania na sekundę.
Jednostka częstotliwości drgań
Jednostką częstotliwości w układzie SI jest herc, oznaczany symbolem Hz.
- 1 Hz oznacza 1 drganie na sekundę.
- 10 Hz oznacza 10 drgań na sekundę.
Możemy to zapisać matematycznie:
\[ 1 \,\text{Hz} = 1 \,\text{s}^{-1} \]
co czytamy jako „jeden na sekundę”.
Podstawowe wielkości związane z drganiami
W ruchu drgającym często używamy trzech ściśle powiązanych ze sobą wielkości:
| Wielkość | Oznaczenie | Jednostka | Znaczenie |
|---|---|---|---|
| Częstotliwość | \( f \) | \( \text{Hz} \) (herc) | Liczba drgań w jednostce czasu |
| Okres | \( T \) | \( \text{s} \) (sekunda) | Czas trwania jednego pełnego drgania |
| Liczba drgań | \( N \) | – (bez jednostki) | Ile pełnych drgań wykonano |
| Czas trwania | \( t \) | \( \text{s} \) | Czas, w którym zachodzi ruch drgający |
Wzór na częstotliwość drgań
Zależność między częstotliwością a okresem
Okres drgań to czas jednego pełnego drgania. Jeśli znamy okres \( T \), częstotliwość obliczamy ze wzoru:
\[ f = \frac{1}{T} \]
To oznacza, że:
- jeśli okres \( T \) jest duży (jedno drganie trwa długo), częstotliwość jest mała,
- jeśli okres \( T \) jest mały (drgania są szybkie), częstotliwość jest duża.
Odwrotny wzór (gdy znamy częstotliwość, a chcemy obliczyć okres):
\[ T = \frac{1}{f} \]
Zależność między częstotliwością a liczbą drgań
Jeżeli wiemy, ile drgań \( N \) wykonało ciało w czasie \( t \), częstotliwość obliczamy tak:
\[ f = \frac{N}{t} \]
Interpretacja:
- \( N \) – ile drgań zaobserwowaliśmy,
- \( t \) – w jakim czasie (w sekundach),
- \( f \) – ile wychodzi drgań na 1 sekundę.
Przykłady obliczeń częstotliwości drgań
Przykład 1: obliczanie częstotliwości z okresu
Zadanie: Ciało wykonuje drgania o okresie \( T = 0{,}5 \,\text{s} \). Oblicz częstotliwość.
Rozwiązanie:
- Zapisujemy wzór: \[ f = \frac{1}{T} \]
- Podstawiamy dane: \[ f = \frac{1}{0{,}5 \,\text{s}} = 2 \,\text{Hz} \]
Odpowiedź: częstotliwość drgań wynosi \( 2 \,\text{Hz} \), czyli 2 drgania na sekundę.
Przykład 2: obliczanie częstotliwości z liczby drgań i czasu
Zadanie: Wahadło wykonało \( N = 30 \) drgań w czasie \( t = 15 \,\text{s} \). Oblicz częstotliwość.
Rozwiązanie:
- Korzystamy ze wzoru: \[ f = \frac{N}{t} \]
- Podstawiamy: \[ f = \frac{30}{15 \,\text{s}} = 2 \,\text{Hz} \]
Odpowiedź: częstotliwość drgań wynosi \( 2 \,\text{Hz} \).
Przykład 3: obliczanie okresu z częstotliwości
Zadanie: Drgania mają częstotliwość \( f = 50 \,\text{Hz} \). Oblicz okres \( T \).
Rozwiązanie:
- Wzór: \[ T = \frac{1}{f} \]
- Podstawiamy: \[ T = \frac{1}{50 \,\text{Hz}} = 0{,}02 \,\text{s} \]
Odpowiedź: jedno drganie trwa \( 0{,}02 \,\text{s} \), czyli 20 milisekund.
Prosty kalkulator częstotliwości drgań
Poniżej znajdziesz prosty kalkulator, który pomoże obliczyć częstotliwość drgań na dwa sposoby:
- z okresu \( T \),
- z liczby drgań \( N \) wykonanych w czasie \( t \).
Kalkulator 1: częstotliwość z okresu \( T \)
Wynik: –
Kalkulator 2: częstotliwość z liczby drgań \( N \) i czasu \( t \)
Wynik: –
Związek częstotliwości z ruchem kołowym (dla ciekawych)
W wielu sytuacjach ruch drgający można powiązać z ruchem po okręgu. Wtedy pojawia się tzw. częstość kołowa (lub pulsacja), oznaczana przez \( \omega \) (omega).
Związek między częstotliwością \( f \) a częstością kołową \( \omega \) jest następujący:
\[ \omega = 2\pi f \]
gdzie:
- \( \omega \) – częstość kołowa (w radianach na sekundę, \(\text{rad/s}\)),
- \( \pi \approx 3{,}14 \).
Ten wzór jest istotny np. w analizie ruchu harmonicznego, fal, obwodów RLC w elektronice. Na poziomie podstawowym wystarczy Ci świadomość, że istnieje takie powiązanie; nie musisz go stosować w prostych zadaniach szkolnych, jeśli program tego nie wymaga.
Przykłady drgań w życiu codziennym
1. Wahadło zegara
- W starych zegarach wahadłowych wahadło wykonuje drgania z dość stałą częstotliwością.
- Jeśli wahadło wykonuje jedno drganie w 2 sekundy, to okres wynosi \( T = 2 \,\text{s} \), a częstotliwość: \[ f = \frac{1}{2 \,\text{s}} = 0{,}5 \,\text{Hz} \]
- Czyli 0,5 drgania na sekundę, a inaczej: 1 drganie na 2 sekundy.
2. Struny instrumentów muzycznych
- Gdy szarpniesz strunę gitary, zaczyna ona drgać.
- Częstotliwość drgań struny decyduje o wysokości dźwięku (czyli czy dźwięk brzmi „wysoko” czy „nisko”).
- Np. dźwięk „A” (a1) w muzyce ma częstotliwość około \( 440 \,\text{Hz} \). Oznacza to, że struna wykonuje 440 drgań na sekundę.
3. Dźwięki słyszalne przez człowieka
- Człowiek słyszy w przybliżeniu dźwięki o częstotliwościach od około \( 20 \,\text{Hz} \) do \( 20\,000 \,\text{Hz} \) (20 kHz).
- Poniżej 20 Hz mówimy o infradźwiękach – są zbyt niskie, by je słyszeć, ale mogą być odczuwane jako wibracje.
- Powyżej 20 kHz są ultradźwięki, wykorzystywane np. w medycynie (USG) i przez nietoperze do echolokacji.
4. Prąd przemienny w gniazdku
- W europejskich sieciach energetycznych prąd zmienny ma częstotliwość \( 50 \,\text{Hz} \).
- Oznacza to, że w każdym punkcie obwodu wartości napięcia i natężenia zmieniają się w sposób okresowy, wykonując 50 pełnych cykli zmian na sekundę.
Jak rośnie częstotliwość, gdy maleje okres? – prosty wykres
Zależność między częstotliwością \( f \) a okresem \( T \) jest odwrotna: \( f = \frac{1}{T} \). Aby to lepiej zobaczyć, spójrzmy na prosty wykres pokazujący, jak zmienia się częstotliwość, gdy okres przyjmuje kilka przykładowych wartości.
Na wykresie widać, że:
- gdy \( T = 1{,}0 \,\text{s} \), wtedy \( f = 1 \,\text{Hz} \),
- gdy \( T = 0{,}5 \,\text{s} \), wtedy \( f = 2 \,\text{Hz} \),
- gdy \( T = 0{,}25 \,\text{s} \), wtedy \( f = 4 \,\text{Hz} \), itd.
Im krótszy czas jednego drgania, tym więcej drgań zmieści się w jednej sekundzie, czyli częstotliwość rośnie.
Podsumowanie – najważniejsze informacje
- Częstotliwość drgań to liczba drgań w jednostce czasu, zwykle w jednej sekundzie.
- Jednostką częstotliwości jest herc (Hz), czyli „drganie na sekundę”.
- Podstawowe wzory:
- \( f = \frac{1}{T} \) – gdy znamy okres drgań,
- \( f = \frac{N}{t} \) – gdy znamy liczbę drgań i czas,
- \( T = \frac{1}{f} \) – gdy znamy częstotliwość, a szukamy okresu,
- \( \omega = 2\pi f \) – częstość kołowa (dla bardziej zaawansowanych zastosowań).
- Częstotliwość występuje w wielu zjawiskach: w drganiach wahadła, drganiach strun, dźwiękach, falach, prądzie przemiennym, a nawet w drganiach atomów w ciałach stałych.
Umiejętność obliczania częstotliwości drgań i zrozumienie jej znaczenia to ważny krok do dalszej nauki fizyki, akustyki, elektroniki i wielu innych dziedzin nauk ścisłych.
